La foto

1. Considerare una fotografia di oggetti disposti su di un tavolo. Tra di essi vi è anche un campione di metro. Come calcolare le misure reali dei vari oggetti della fotografia?

2. Fare una fotografia in cui compaiano un passaggio pedonale (a strisce) e dei cartelli segnaletici di divieto (circolari), di obbligo (quadrati) e di nome di località (rettangolari).

Discutere quali forme assumono nella fotografia le strisce del passaggio pedonale e i cartelli segnaletici.

3. Dove si posa la mosca? (7° RMT)

Il rettangolo di destra è la fotografia del grande rettangolo di sinistra.
Nel momento in cui la fotografia è stata scattata, una mosca si è posata sul rettangolo grande.
Il fotografo però quando ha stampato la fotografia l'ha cancellata.

Rimettete la mosca al posto giusto sulla foto. Spiegate come avete proceduto.

L’analisi a priori del compito, che accompagna ogni problema del rally matematico transalpino, prevedeva le procedure risolutive seguenti:

• Determinare il fattore di riduzione della fotografia a partire dai due rettangoli e verificare che è il medesimo per le due dimensioni: 2,5/6 = 3,5/8,4 = 5/12, determinare poi le coordinate della mosca sul foglio e calcolare le coordinate corrispondenti sulla foto
• Oppure utilizzare una procedura geometrica tracciando due rette passanti ciascuna per la mosca e un vertice del foglio e conducendo poi le parallele corrispondenti sulla foto
• Oppure cercare il centro di omotetia, etc.

In realtà, l’analisi a posteriori (Doretti et al.,2001, pp.216-229), che analizza le strategie risolutive utilizzate anche il relazione al livello scolastico e gli errori, che compaiono più frequentemente, fatta su 234 elaborati provenienti da varie regioni italiane e dalla Svizzera con un livello scolare dagli 11 ai 14 anni ha evidenziato che questo problema, benché di natura geometrica, sia stato risolto nella maggioranza dei casi mediante strategie di carattere numerico, anche se non sono mancate strategie “miste” in cui le procedure aritmetiche e geometriche sono state usate contemporaneamente.

La soluzione per via aritmetica (Grugnetti e Rinaldi, 2003, pp.105-113) può non risultare pienamente soddisfacente.
Le soluzioni geometriche sono evidentemente più “sicure” e anche meno faticose.

Si può focalizzare l’attenzione:

• sulla similitudine tra le singole figure (visione locale)
• sulla omotetia del piano (visione globale)

Questo problema, ricco di contenuti matematici da un lato e di possibilità di ricorso a numerose procedure risolutive dall’altro, sembra prestarsi bene alla costruzione di nuove conoscenze. L’enunciato del problema invita a considerare un “oggetto” e una sua fotografia, esempio classico per introdurre il discorso sulle figure simili. La similitudine e l’omotetia, in quanto tali possono poi costituire il punto di arrivo dell’attività indotta dal problema, che può svilupparsi lungo strade molto diverse.

L’analisi a posteriori ha messo in luce ben 17 tipi di procedure utilizzate dagli allievi.
Si va dall’individuazione della posizione della mosca “ad occhio” o con qualche tentativo di procedura aritmetica, a metodi di approssimazioni successive (quadrettatura, suddivisioni via via più raffinate,...), a procedure basate sul coefficiente di proporzionalità e sulla proprietà moltiplicativa di linearità, esprimibile con f(kx) = kf(x), a procedure puramente geometriche che presentano costruzioni basate sulla conservazione degli angoli o del parallelismo, sull’omotetia, sulla suddivisione dei rettangoli con rette parallele ai lati o con “diagonali”, sulla riproduzione del rettangolo piccolo sopra a quello grande.

Ci sembra particolarmente interessante, nel caso di questo problema, la fase di discussione in classe sulle diverse procedure messe in atto dagli allievi della classe, ma anche sulle procedure usate dalle classi impegnate nel rally.
Un’attività in classe sviluppata a partire dal confronto di diverse strategie risolutive: dalle strategie che portano a trovare “più o meno dove si trova la mosca” (più o meno dovuto in generale a misurazioni empiriche) a quelle che consentono di trovare effettivamente “dove si trova la mosca”, può costituire un terreno fertile per avviare la costruzione di una nuova conoscenza (omotetia, ad esempio) che permette di risolvere in maniera "ottimale" il problema.

I ragazzi di prima media incontrano difficoltà nella risoluzione del problema, in quanto, non possedendo ancora strumenti matematici adeguati, si affidano esclusivamente all’uso intuitivo delle proprietà della riduzione, come l’individuazione di un coefficiente valutato approssimativamente, la conservazione dei rapporti fra le dimensioni da un rettangolo all’altro, la conservazione degli angoli o del parallelismo, seguendo in ogni caso procedure “approssimate”. Nel passare ai livelli scolastici successivi il problema tende a diventare un buon esercizio e un’applicazione di procedure acquisite, si perde l’importanza del ruolo dell’intuizione e prevale la strategia del coefficiente di proporzionalità.

Mettendo a confronto gli elaborati italiani con quelli svizzeri, si osserva che mentre i protocolli italiani privilegiano la via aritmetica, anche se porta a risultati approssimati, quelli svizzeri dedicano maggior attenzione alle costruzioni geometriche con riga, compasso e squadra (riporto di angoli, disegno dirette parallele, costruzioni di segmenti proporzionali,…..).

4. “Alla ricerca della città perduta” (Matematica 2001, pag. 188).