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Proporzionalità e linearità

Il concetto di proporzionalità tra grandezze affonda le sue radici didattiche nei problemi moltiplicativi della scuola elementare: “se 3 pacchetti (identici) contengono 75 caramelle, 5 pacchetti conterranno 125 caramelle”. Questi problemi richiedono di “ridurre all’unità” per risolvere il quesito (quante caramelle in 1 pacchetto?) e si presentano in modo diverso a seconda di quale numero si chiede di trovare dati 3 valori soltanto tra i 4: 3, 75, 5, 125. Tipicamente tale tipo di problemi fa riferimento a valori discreti (il numero di pacchetti e di caramelle).

Altri contesti permettono di considerare valori continui, che possono essere risolti sempre con lo stesso metodo. Ad esempio, se in 3 ore un’auto percorre 240 km (procedendo sempre alla stessa velocità), in 5 ore la stessa auto (alla stessa velocità) percorrerà 400 km. In quest’ultimo esempio è più evidente che problemi di questo tipo fanno riferimento a due tipi di relazioni: una tra grandezze diverse (la velocità dell’auto: 80 km/h), una tra grandezze dello stesso tipo (ore o chilometri in rapporto tra di loro come 5 e 3). La riduzione all’unità consiste nel calcolare la prima e poi nell’applicare la relazione trovata per risolvere il problema; la seconda permette di risolvere il problema con un solo passaggio (ad es. moltiplicare 240 km per 5/3 in modo da ottenere 400 km), che sintetizza il procedimento applicato nel primo.

La proporzionalità viene assorbita in un concetto più moderno e potente, la nozione di funzione lineare, che permette di considerare tutti i vari sottocasi dei problemi di proporzionalità in un unico caso e che costituisce oggetto di insegnamento nella scuola secondaria di primo grado. Ad esempio, il caso dell’automobile è modellizzato dalla funzione f: t --> 80t (ovvero s = 80t), dove t rappresenta il tempo (in ore) ed s esprime lo spazio percorso dall’auto (in km) in quel tempo, mentre 80 (km/h) è la velocità dell’auto.

In forma più astratta, la funzione lineare f, il cui grafico è una retta passante per l’origine di pendenza 80, permette di modellizzare il problema considerato. In generale tutti i problemi di proporzionalità diretta sono riconducibili a una funzione lineare y = kx (k non nullo).