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Le trasformazioni geometriche

Il ricorso alle similitudini nella nostra situazione problematica, offre lo spunto per fare una distinzione fra la similitudine scoperta e sfruttata da Talete per misurare l’altezza di una piramide e riportata su quasi tutti i libri di testo
e la trasformazione che lega un oggetto alla sua sezione d’ombra al suolo: l’affinità.

La sezione d’ombra sul suolo di una griglia a maglie quadrate illuminata dai raggi del sole (raggi paralleli) è una griglia le cui maglie sono quadrilateri a lati paralleli, ma, in generale, non quadrati (diventano quadrati nel caso in cui si dispone la griglia parallelamente al suolo).
La trasformazione geometrica interessata è l’affinità.

La stessa griglia in classe alla luce di una lampada (raggi divergenti) fornisce sezioni d’ombra che non mantengono il parallelismo.
In questo caso si tratta di una trasformazione proiettiva.

Al fine di chiarire come sia possibile passare da una trasformazione geometrica ad un’altra in maniera continua è possibile svolgere in classe la seguente attività: disponiamo un cartoncino quadrato parallelamente al muro e lo illuminiamo con una torcia elettrica in modo che l’asse del cono d’ombra della torcia sia perpendicolare al cartoncino, la sezione d’ombra ottenuta sul muro è simile al cartoncino. La trasformazione geometrica coinvolta è una particolare similitudine, una omotetia il cui centro è il punto da cui si diffonde la luce.

L’ombra che si trova sul muro è un ingrandimento del cartoncino.
Con un filo avente un capo coincidente con il punto luce della torcia e poggiato ad un vertice del cartoncino, è possibile prevedere a torcia spenta (ovviamente dopo aver illuminato l’ambiente) il punto sul muro corrispondente ad un vertice della sezione d’ombra e determinare il rapporto di omotetia.

Più avviciniamo il punto di luce (torcia), più la sezione d’ombra si ingrandisce, mentre più allontaniamo il punto di luce, più la sezione d’ombra si restringe.
Finché, allontanando sempre più la torcia, la sezione d’ombra non rimpicciolisce più e diventa quasi uguale al cartoncino: si ha una congruenza (caso particolare della omotetia quando il centro è posto all’infinito).

Se non disponiamo il cartoncino parallelamente alla parete,
la sezione d’ombra non è più una figura simile ad esso.
Si ha ancora un quadrilatero, ma non
rimangono le proprietà del quadrato.
In questo caso parliamo di trasformazione proiettiva.

Allontanando sempre di più la torcia dal cartoncino la sezione d’ombra si trasforma in un quadrilatero a lati paralleli, si ottiene quindi una affinità.
La torcia lontana si comporta come il sole (si passa dal modello a raggi luminosi divergenti a quello a raggi paralleli, dal cono di luce al cilindro di luce).